
\prob{0059}{整系数二次三项式}

已知有整系数二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$。若$f(19) = f(99) = 1999$且$|c| < 1000$，求$c$。
\problabels{yellow/数论, green/代数求值问题}

\ans{$c = 118$}

\subsection{二次方程的解}

构造函数$g(x) = f(x) - 1999 = ax^2 + bx + c - 1999$，则有$g(19) = g(99) = 0$，故$x = 19$和$x = 99$是方程
\[ ax^2 + bx + c - 1999 = 0 \]
的两个根。故
\[ ax^2 + bx + c - 1999 = a(x - 19)(x - 99) \]
等号右边的常数项为$a\cdot19\cdot99 = 1881a$。故$c - 1999 = 1881a \Rightarrow c = 1881a + 1999$。

而$|c| < 1000 \Rightarrow -1000 < c < 1000$，故$a$只能取$-1$，此时$c = -1881 + 1999 = 118$。
